# 0. 概要 老规矩，先回顾一下前面三篇文章我们都讲了什么。 首先，第一篇[【谈谈二进制（一）】](http://www.dubingxuan.com/article/6/)我们从进制本身的意义开始，认识了二进制和其他进制，然后完成了十进制和其他各种进制之间的转换。 接着，第二篇[【谈谈二进制（二）——四则运算】](http://www.dubingxuan.com/article/8/)中，我们则通过十进制的四则运算原理，推导出二进制的四则运算。 上一篇[【谈谈二进制（三）——位运算及其应用】](http://www.dubingxuan.com/article/9/)，我们将二进制从纯数学的世界中带到了计算机的世界里，并通过一个真实的算法题，了解了二进制位运算在实际编程中的使用。 今天这篇，我们来看看二进制在计算机中的特殊表示。 # 1. 有符号数和无符号数 在讲各种码之前，先来熟悉一下两个概念：**有符号数**和**无符号数**。这两个概念很好理解，就是字面的意思，一个数值是否有正负符号。 在上一篇文章中，按位取反的部分，我们在`C++`代码中用`unsigned`关键字定义了一个无符号数。无符号数的意思就是，这个数字存储在计算机中的时候是没有符号的，也就是正数；而有符号数则会把正负号也存入计算机中。但我们知道，计算机所有的数值都是由二进制组成的，那么正负号这种东西该怎么存储呢？ 其实正和负这两个东西，就像布尔型的真和假一样，是两种截然相反的状态，因此正和负也可以使用`0`和`1`来表示，计算机里实际也是这么做的：`0`表示正，`1`表示负。并且正负号在原数有效数的最前面（左边），所占的这一位被称为**符号位**。譬如`+1001`，它的实际存储值就是`0,1001`，`-1001`就是`1,1001`，符号位在逗号的左边。这里的逗号，实际上是一种为了书写方便以及区别整数小数的约定俗成的写法，即整数的数值与符号位之间用逗号隔开，而小数的符号位和数值位之间则以小数点隔开，譬如`-0.1001`，会写成`1.1001`。 这种把正负号给**数字化**后的数值，被称为**机器数**，带正负号的原数被叫做**真值**。 讲各种码之前，这里还要提一句，原码、补码、反码、移码这些码，都只是机器数的不同表示形式，就像前面我们讲过的进制，无论二进制还是十进制，对于同一个数值来讲，也只是不同的表示方法而已。 # 2. 原码 先来看原码，原码是众多码中最简单的一种机器数表示法，其实我们上面在说有符号位的符号的时候，就已经把原码的概念给讲完了，**原码就是符号位和真值的绝对值组成的**。它和真值之间仅仅是正负号被换成了`0`和`1`，然后根据整数或小数加上`,`，也就是上文中写到的那几个例子，这里简单罗列一下： $$[+1001]_{原}=0, 1001$$ $$[-1001]_{原}=1, 1001$$ $$[+0.1001]_{原}=0. 1001$$ $$[-0.1001]_{原}=1. 1001$$ 不过这里有几点我们要提一下，非常有意思。 第一个是整数负数的原码，上文中我们知道，就是把负号给换成`1`，然后写的时候加一个逗号，举个例子，`-1001（-9）`，原码表示为`1, 1001`。这里我们做一个大胆的试验：把逗号去掉，然后把剩余的`11001`看做一个完整的二进制正整数，也就是`25`，看看它跟`-1001（-9）`有什么联系。 从十进制上的数来看，乍看之下`25`和`（-9）`好像没什么联系，然后我们来看二进制`11001`和`-1001`，咦？似乎有点像，除了最高位的`1`和负号之外，余下的`4`位一模一样，我们把它俩相加：`11001 + (-1001) = 10000`。嘿，这就更有意思了，熟悉二进制运算的朋友们肯定一眼就看出来，`10000`实际上就是\\(2^4=16\\)。 我们是不是可以从这个试验中猜测一个结论：**一个负整数的原码，等于`2`的`n`次方减去自己**？没错，这是一个正确的结论。这里的关键是，`n`是多少？上面的试验中我们的`n`为`4`，这里的`4`，**其实就是原数的位数**。用数学表达式表达就是：当\\(0≥x>-2^n\\)（x为原数真值）时，则\\([x]_{原}=2^n-x\\)。 正整数就没啥好说的，直接在真值绝对值前面加个`0,`。 再来看看小数，因为小数的符号位和数值位用小数点隔开，因此当`0 ≤ x < 1`时，也就是正小数时，它的原码就等于它自己。负小数呢？譬如`-0.1001`，原码写成`1. 1001`，也很简单，就是`1. 1001 = 1 - (-0.1001)`。 原码就是这样，后面的这些数学运算规律其实不管也无所谓，因为原码本身实在是太简单易懂了。 # 3. 补码 补码就稍微复杂一点，它的基础原理涉及到了`补数`和`模`的概念，这里我参考了**唐朔飞老师的《计算机组成原理》**中的一些概念和例子来讲解。 # 3.1 补数和模 补数的概念初次接触会觉得陌生，但它实际上可能就存在于我们的日常生活中。譬如，某一时刻时钟的某个指针指向`6`，如果我们想让它指向`3`，我们可以让指针沿逆时针方向走`3`格，也可以让它沿顺时针方向能走`9`格，最终都会让这个指针指向`3`。假设顺时针方向为正，逆时针方向为负，则刚才的两个行为分别为：`6 + (-3) = 3`和`6 + 9 = 15`。 我们知道，虽然我们日常采用`24`小时制，但钟表上的刻度通常只有`12`个刻度，因此指针超过`12`时，就会回归`1`、`2`等等。因此上面我们得到的`15`，实际上是`15 - 12 = 3`，也就是我们一开始所要达到的指向`3`的目的地。所以这里`15`和`3`在时钟上指向的都是`3`，那么，在刚才的操作过程中，`-3`和`+9`对时钟而言，作用是一样的，都是让原本在`6`的指针，指向了`3`。 上面的例子里，在数学上，称时钟的`12`格刻度为`模`，写作`mod 12`，而**称`+9`是`-3`以`12`为模的补数**，记作 $$-3 ≡ +9 \qquad（\text{mod}\ 12）$$ 或者说，对于`模12`而言，`-3`和`+9`是互为补数的。同理有 $$-4 ≡ +8 \qquad（\text{mod}\ 12）$$ $$-5 ≡ +7 \qquad（\text{mod}\ 12）$$ 即对于`模12`而言，`+8`和`+7`分别是`-4`和`-5`的补数。可见，只要确定一个`模`，就可以找到一个与负数等价的正数来代替该负数，而这个得到的正数，即为负数的`补数`，同时，我们观察到，**该负数的绝对值，和它的补数相加，就是模**（结论一）。 那么当我们有一个负数，且已知模时，如何求它对应的正数补数呢？很简单，只需要**让负数和模相加**（结论二），譬如`-4 + 12 = 8 （mod 12）`，这个`+8`就是`-4`的补数了。 这就是模和补数的概念。这里大家可能会有疑问了：上面的几个式子和最后的结论，讲的都是负数的补数，那么正数有补数吗？ 有的，但先别着急，我们先来看下，上面我们求得的负数的模到底有什么用。其实参考我们一开始讲的时钟的例子，我们隐隐约约可以感觉到，补数这个东西，**可以让减法变成加法**。依然来看一个例子，我们设`A = 9, B = 5`，求`A - B（mod 12）`。最通常的解法是减法： $$A - B = 9 - 5 = 4$$ 这么解肯定没问题，但我们题目中给出了`mod 12`，那么对模`12`而言，`-5`可以用它的补数`+7`代替，他们是恒等的，于是这题的另一个解法如下： $$A - B = 9 + 7 = 16$$ 这样我们得到了`16`，回想一下时钟，`16`这个数字是不存在的，当时钟拨到`16`时，其实是`4`，所以对于`mod 12`，`16`又等价于`4`，即`4 ≡ 16（mod 12）`。那么如果此时时钟再顺时针转一圈（`12`格），到了`28`呢？它依然是`4`，即 $$4 ≡ 16 ≡ 28 \qquad（\text{mod}\ 12）$$ $$4 ≡ 4 + 12 ≡ 4 + 2\times12 ≡ 4 \qquad（\text{mod}\ 12）$$ 这也就是说，**正数的补数，就是正数本身**（结论三）。 前面讲进制时我们反复讲过一点，不同的进制之间仅仅是进位方式不同，所以上面我们虽然用的是十进制来介绍模，实际上二进制依然可以用模，结合模和补数的概念，以及上面的三个结论，我们可以得到如下二进制数的补数： $$-1011 ≡ +0101 \qquad（\text{mod}\ 2^4）$$ $$+0101 ≡ +0101 \qquad（\text{mod}\ 2^4）$$ $$-0.1001 ≡ +1.0111 \qquad（\text{mod}\ 2）$$ $$+0.1001 ≡ +0.1001 \qquad（\text{mod}\ 2）$$ 用上面粗体的三个结论，很容易就能求得各种数字的补数，这里几个二进制我就不再计算验证了，大家可以自己试一下。 有了补数的概念后，人们看到了它可以将减法变成加法，便将其概念用到了计算机中，于是出现了补码这种机器数。 ## 3.2 补码的定义 补码和原码一样，需要用一位数字在高位作为符号位表正负，而低位的数值部分则采用了补数的概念，因此，结合上面补数的特征，我们可以想象到，**因为正数的补数是它自己，因此在补码中，正数的数值位是它自己，符号位则同原码一样，正数为`0`，负数为`1`**。譬如下面两个例子： $$[+1001]_{补}=0, 1001$$ $$[+0.1001]_{补}=0. 1001$$ 也就是说，正数的补码和原码一样。 负数就要麻烦一些。首先，通过上一小节我们知道，二进制的补数计算方式和十进制一样，譬如`-1101`，它的最高位为第`3`位，因此我们取比它高一位的最小值\\(2^4\\)作为模，求得它的补数为`10000 + (-1101) = 0011`。按理说，我们得到的负数的补数是正数，这里只需要再加一个符号位`0`即可，但注意了，补码中的实际情况并不是这样，**尽管负数的补数为正数，但负数的补码前的符号位依然是负符号位`1`，即符号位与原数保持一致**。 为什么会这样？明明求得的补数是正数，符号位却要用负符号`1`？ 实际上，在前面讲补数的时候我们提到过，**补数的出现，可以让原本作减法的式子变成加法**，补码这种机器数也正是看准了这一点才被计算机引入的。对于计算机来说，**让减法变成加法，相当于让计算机只需要在硬件层面上实现一个加法器，就可以解决加减法两种问题**。那么这里补码的符号位的问题，自然也是为了计算而设定如此的，我们来看一个实际的例子就知道了。 设`A = 1110，B = 1101`，我们来求`A - B`的值。常规用减法，一眼可以看出来，结果是`1110 - 1101 = 0001`。我们将`A`和`-B（-1101）`两个数都换成补码，用加法计算，此时\\(A = 0,1110\quad（mod\ 2^4）\\)，\\(-B = 1,0011\quad（mod\ 2^4）\\)。注意了，**在使用补码计算时，补码的符号位也参与计算**，那么此时这两个补码相加后的结果为： $$0,1110 + 1,0011 = 10,0001 \qquad（\text{mod}\ 2^4）$$ 我们看到，结果的符号位产生了进位，变成了`10`。这里其实涉及到了另一个知识点：**补码运算的符号位进位（溢出）**。由于篇幅关系，本文不对该知识点展开讲解，大家有兴趣的可以去查找资料了解一下。总之，这里符号位虽然进位了，但并没有发生溢出，我们把符号位的最高位`1`拿掉，得到了最终的结果`0,0001`，也就是`+0001`，与之前的减法结果一致。 这就是负数求补码后让符号位也保持负值`1`的原因了。上面讲的都是负正数，实际上负小数同理，这里不再赘述，我们直接上两个数学公式来对负数求补码进行一个总结。首先是整数，正整数就不说了，和原码一样，负整数呢？除了上面用标准的补数算法外，我们可以直接用下面这个公式来计算： $$[x]_{补}=2^{n+1}+x\qquad0>x≥-2^n\quad（\text{mod}\ 2^{n+1}）$$ 这里的`n`就是整数`x`的位数。拿前面我们算过的`-1101`举例： $$[-1101]_{补}=2^{4+1}+(-1101)=100000-1101=1,0011$$ 最高位`1`就是符号位，与后面的数值位部分用逗号隔开，就得到了最终的结果。其实这里我们可以观察到一个规律：**负整数的补码，就是原数字除符号位外，数值部分的每一位按位求反后再`+1`**。 接着是负小数： $$[x]_{补}=2+x\qquad0>x≥-1\quad（\text{mod}\ 2）$$ 看上去更简单了，举个例子，我们求`-0.1001`的补码： $$[-0.1001]=2+(-0.1001)=10.0000 - 0.1001=1.1010$$ 其实这里求负小数的补码的方式，和上一节中我们求小数的补数的方式是一样的。还记得上一节的**结论二**吗？求一个负数的补数，就是**让负数和模相加**。然后我们再仔细观察一下，会发现上面负整数的求补规律在负小数也奏效，即**负数的补码，就是原数字除符号位外，数值部分的每一位按位求反后再`+1`，然后符号位该怎么写怎么写**。记住这个结论，它能让我们在求补码的时候避免加减法运算，更加容易。 补码的概念基本就讲完了，想要掌握的话，其实还是需要自己拿笔算一算，写一写。 # 4. 反码 反码，这种机器数的主要场景用于原码和补码的相互转换，反码作为中间数过度使用。首先，正数的反码，老样子，依然和原码一样，符号位`0`和`1`表示正负，然后是数值位部分原封不动，这里直接拿前面原码里的两个正数例子： $$[+1001]_{反}=0, 1001$$ $$[+0.1001]_{反}=0. 1001$$ 有区别的依然是负数，但反码的负数就简单多了：**除了符号位，数值位部分每一位都按位取反**。因此： $$[-1001]_{反}=1, 0110$$ $$[-0.1001]_{反}=1. 0110$$ 非常简单对不对？那么为什么说反码是原码和补码之间相互转换的中间过渡呢？在上一节补码的最后，我们得到了一个求补码的简单规律：**负数的补码，就是原数字除符号位外，数值部分的每一位按位求反后再`+1`，然后符号位该怎么写怎么写**。其实这个过程，就是对**原码**先求**反码**再给末位`+1`。同理，**如果我们知道了一个补码，想要求它的原码，只需要先将补码的末位`-1`后，再将数值位部分按位求反即可**。 好了，明白了这一点后，我们来看一个上一篇文章中遗留的问题。 ## 4.1 按位取反运算 在上一篇文章[【谈谈二进制（三）——位运算及其应用】](http://www.dubingxuan.com/article/9/)中的取反运算部分，我们对有符号数`5`进行取反，却得到了`-6`这个匪夷所思的答案，当时我在文章中说，这是因为计算机中存储数字的方式都是用补码存储，之所以会得到负值，则是由于补码的最高位表示符号位，按位取反时连符号位一起取反了。今天我们深入了解了补码和反码，也推出了补码和原码之间的转换方式，那么就用今天的知识，来彻底解决这个按位取反的问题吧。 首先，`5`的二进制为`101`，其补码为`0,101`。在进行按位取反操作，即`~5`时，实际上把符号位也取反了，于是我们得到了`1,010`这个结果，请注意，这个`1,010`**依然是补码**。而从符号位的`1`我们看到，这是一个负数补码，我们通过补码不能直观地看出它的真值，因此需要先转换成原码。按照前文我们提到的补码转原码的方式，先将`1,010`末位`-1`，得到`1,001`，接着，我们将数值位按位取反，符号位不动，得到`1,110`。此时，`1,110`已经是**原码**了，可以直接将其求出： $$1,110=[-110]\_{原}=-6\_{(10)}$$ 于是，我们得到了这个`-6`。 这个让我们之前摸不着头脑的答案，在我们学完了补码之后，变得清晰明了。 除了这个`-6`之外，按位取反的部分还有一个小问题，我们后来又使用了一个无符号数`5`来进行按位取反，发现得到了一个巨大的数字`4294967290`，并且这个数实际上是\\(2^{32}-6\\)： ``` 0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0101 // 5 1111,1111,1111,1111,1111,1111,1111,1010 // 4294967290 ``` 这个问题其实可以有两种角度去理解，一种是最直观的：因为无符号数不涉及符号位的问题，而`C`语言中（这个数字是用`C++`求得的）`unsigned int`的取值范围在`32`位机器上为`0 ~ 4294967295`，没错，最大值就是上面的两个数之和\\(2^{32}-1\\)，也就是`32`个`1`。所以将`5（101）`左侧不存在的`0`都取反为`1`后，就得到了这么大的一个数字。 第二种角度就是来解释`-6`这个巧合了。我们只需要把\\(2^{32}\\)看做一个**模**，按照前面计算补数的运算方式，来求`-6`的补数，即让模和`-6`相加，就得到了`4294967290`这个数字，同时，`4294967290`是无符号数`5`按位求反的结果，它们相加的和，则是`unsigned int`的最大值（`32`位，\\(2^{32}-1\\)），本身就比\\(2^{32}\\)小`1`，`1 + 5 = 6`，于是就很凑巧的变成了我们看到的规律。 # 5. 移码 补码对计算机来说是个好东西，毕竟它让计算机对于数字的计算变得更加方便了。但对人类来说，补码可就不那么友好了，不说和真值，哪怕和原码相比，补码也存在着一个巨大的缺点：数字本身的被补码隐藏，使得数字的大小不直观。举个例子： $$[+15]\_{补}=[+1111]\_{补}=0,1111$$ $$[-15]\_{补}=[-1111]\_{补}=1,0001$$ 如果我们把符号位的`1`也看作是整个二进制数的一部分，那么显然`10001 > 01111`。虽然在我们懂得了补码的原理和运算过程后，我们并不会直接这么去比较，但因为负数的补码将数值部分都给改写了，总体来说，补码依然给人以非常不直观的感受，一旦逗号忘记写，或者其他原因造成了误读，那么补码之间的比较将成为灾难。就上面的两个数来说，我们很难一眼就看出来这两个二进制数居然互为相反数，但如果是用原码表示，那么起码他们的数值位是相同的，我们能第一时间反应过来。 此时，如果我们将两个数字的**真值**都加上\\(2^n\\)，这里的`n`同前面我们讲过的那些`n`一样，是真值的位数，那么新得到的两个数字的大小就变得很直观了： $$15 + 2^4 = 1111 + 10000 = 11111$$ $$-15 + 2^4 = 10000 - 1111 = 00001$$ 尽管还是无法直接看出它俩的真值互为相反数，但我们可以很直观地比较出这两个数字的实际大小了，不会因为符号位的问题造成误读。而这两个计算后得到的新数字，**就是移码**。 所以移码的数学定义非常简单： $$[x]\_{移}=2^n+x\qquad（2^n>x≥-2^n）$$ 这里的`n`就是真值的位数，`x`则是真值。 我们仔细观察上面两个数字的补码和移码，会发现一个有趣的现象：**移码实际上就是改变了补码的符号位，从`0`变`1`，从`1`变`0`**。这样一来，当我们知道了一个数的补码后，只需要替换它的符号位，就可以得到移码，从而与其他数值进行直接比较了。 # 6. 总结 今天我们了解了二进制数的四种机器数表示方式，并且解决了上一篇文章中遗留的小问题。在下一篇文章里，我们将认识**定点数**和**浮点数**，对，就是我们编程中非常熟悉的那个浮点数`float`。