# 0. 序
上一篇**【[谈谈二进制（一）](http://www.dubingxuan.com/article/edit/6/)】**中，我们花了巨量的篇幅，从最基本的计数开始，认识了各种进制的原理，接着通过对我们最熟悉的十进制的分解组合，推演了其他进制和十进制之间的相互转换过程。
本篇将继续深入二进制，来探究一下二进制的四则运算过程，也就是加、减、乘、除，看看二进制和十进制在计算上又有多少差异。
# 1. 加法
## 1.1 整数
加法一般是四则运算中首先被提及的，它是计数这一基础行为的延申，从一个一个地累加，延申到一堆一堆地相加，使计数这一行为提升了一个维度。按照上一篇文章的推演逻辑，我们依然从十进制开始，首先探究一下十进制的加法。
我们取两个十进制数：`62`和`185`，我们用简单的口算就能算出来他们俩的和是`247`，但这个运算过程是怎么样的呢？我们仔细想一下刚才在计算时大脑的计算过程，然后来看看小时候初学加法时用到的竖式表达式：
从上式中我们可以看到，这个加法的整个过程其实分为了四步：
1. 个位相加，得到的结果没有进位，依然是个位；
2. 十位相加，`6 + 8 = 14`，进位了，因为是十位的相加结果，所以进到百位上，因此十位上结果是`4`，百位上是`1`；
3. 百位相加，这里百位只有`185`的`1`，`62`的百位是`0`，所以是`0 + 1 = 1`；
4. 最后，把上面三步得到的结果再进行相加，数字不存在的空白处都看作是`0`，最终得到了`247`这个结果。
总结上面十进制的加法过程，其实就是两个数字从低位开始相加，如果有进位，就将进的位数加到下一位的计算结果上，然后重复这个过程，直到两个数字的所有位数遍历完成。
在上一篇文章中我们提到过，不同进制之间的区别几乎仅仅是进位方式的区别，所以上面这套加法法则在十进制数上成立，那么在二进制上自然也是成立的。我们取两个二进制数字`101`和`1110`，把它们相加：
得到了`10011`这个结果，我们将三个二进制转化成十进制验证一下：`1110 = 14`，`101 = 5`，`10011 = 19`，完全正确。
当我们熟悉了二进制的计算过程后我们会发现，其实二进制的加法计算要比十进制更简单，因为二进制的最低位的计算只有三种：`1 + 0 = 1`、`0 + 0 = 0`、`1 + 1 = 10`，比十进制要少得多，毕竟二进制一共也只由`0`和`1`两种数字组成。
## 1.2 浮点数
上面说的例子是整数的运算，精通十进制计算的我们知道，在十进制的计算中，小数的加法和整数大同小异，依然是从最右边开始相加，往左边进位，直到整个数字的位数遍历相加完毕，譬如：`5.875 + 3.75 = 9.625`。十进制是如此，二进制也不例外，我们把上式中的前两个数字换成二进制：`5.875 = 101.111`，`3.75 = 11.11`，然后把这两个二进制浮点数相加：
注意，带小数的计算，我们需要将小数点对齐。经过计算，`101.111 + 11.11`得到的结果`1001.101`对应的十进制数正是`9.625`。
# 2 减法
讲完了加法，下面来看减法。众所周知，减法是加法的逆运算，并且减法的运算也依然是从最右边开始，逐渐往左。由于是加法的逆运算，我们需要注意的是，在减法中，没有进位，取而代之的是退位。我们直接来看上面加法部分的最后一个式子`101.111 + 11.11 = 1001.101`的减法逆运算：
上面的竖式就是`1001.101 - 101.111`的过程了，**式中的每一步我都直接计算了退位**。这个式子比较特殊，它除了右边第一位外，一路往左全部都在做退位计算，所以整个竖式看起来有点诡异。但总之，我们得到了`11.11`这个结果，和上文中的加法吻合。
关于减法还有一点，就是减数＞被减数的情况，我们知道，这种情况的结果为负数，而我们在计算的时候，其实只需要把不存在的位数都用`0`去替换，该怎么退位怎么退位就行了，这里就不再展开。
# 3 乘法
## 3.1 整数
从加减到乘除，我们的计算又提升了一个维度，而乘法实际上也是加法的进阶，所谓乘，其实就是倍数，也就是几个几相加，如`4 × 3`，实际上就是`4`个`3`或者`3`个`4`相加。
还是先来看十进制，取两个数：`84`，`57`，我们用竖式来看一下他们的运算过程：
嗯，看上去比加减法复杂多了。但仔细观察我们就会发现，每一行数字其实就是两个因数上各个数字遍历相乘的结果，唯一要注意的，就是相乘后所在的位置，我们逐行来看。
首先第一行，`4 × 7 = 28`，这个没有任何问题，`4`和`7`都是个位数，也就是\\(10^0\\)位置上的数，因此它们之间相乘，就是两个个位数相乘，结果的最低位在个位上。然后是第二行，这里的`56`是`7 × 8`的结果，但实际上，式中的`8`并不是`8`，而是`80`，是十位（\\(10^1\\)）上的数字，因此它和个位上的`7`相乘，得到的应该是`560`，而我们在式中把`0`给省略了。或者换一种角度，`56`这个数字最低位所在的位数，实际上是`8`的位数和`7`的位数相乘的结果：\\(10^0\times10^1=10^1\\)，因此`56`就被写到了\\(10^1\\)的位置上，如果把个位看作是第`0`位，那么`56`所在的十位就是第`1`位。
下面一行的`20`和上面`56`一样。
最后一行，`40`，经过前面的分析我们知道，它其实是`50`和`80`相乘的结果，后面两个`0`省略了。但为了下面二进制讲解时方便，我这里更愿意使用所在位数来解释，也就是\\(10^1\times10^1=10^2\\)，也可以直接指数部分相加`1 + 1 = 2`，所以`40`就被写在了从`0`数起的第`2`位上。
最后把上面四行所得的数字按照位置相加，不存在的地方用`0`补充，就得到了最终结果`4788`。
再来看二进制，实际上二进制的乘法要比十进制省事儿得多，原因和加法一样，因为二进制只有`0`和`1`两个数，因此它的基础乘法计算只有三种：`0 × 0 = 0`，`0 × 1 = 0`，`1 × 1 = 1`，连进位都省了，全是一位。
我们取两个二进制整数`110(6)`和`101(5)`，来看看它们相乘后的结果：
由于二进制的基础乘法实在太简单，我这里没有像上面十进制一样，遍历每个数字相乘，而是将第一个因数`110`看作一个整体，将第二个因数`101`的三个数拆开，分别去乘`110`，所以我们看第一行结果`110`，是`1 × 110 = 110`，由于`1`在第`0`位，所以结果也写在第`0`位。
接着是第二行，`0 × 110 = 000`。这个`0`在`101`的\\(2^1\\)所在的位置上，也就是第`1`位，而看做整体的`110`的最低位为\\(2^0\\)，也就是第`0`位，因此他们相乘的积也写在第`0 + 1 = 0`位。
第三行，`1 × 110 = 110`。`1`在第`2`位，所以结果写在第`0 + 2 = 2`位。
最终把上面三个数相加，就得到了`11110`，也就是`30`，正好是`5 × 6`的结果。
## 3.2 浮点数
完成了整数的乘法后，我们来看小数带小数的乘法，鉴于二进制实在是太好算了，我们跳过十进制，直接来到二进制的例子。取两个数，`1.01（1.25）`，`11.1（3.5）`，来看他们的竖式计算：
这里我们同样将第二个因数`11.1`拆开，将第一个因数`1.01`看做一个整体来计算，得到了最后的结果`100.011（4.375）`。这个浮点数相乘的式子里，我们同样要注意，并且特别注意位数的问题。
首先第一行，我们看到被我们看做整体的第一个因数`1.01`的最低位为\\(2^{-2}\\)位置上，即`-2`位，而与之相乘的`0.1`在`-1`位上，因此，第一行相乘的结果我们要写在第`-1 + -2 = -3`位上，所以它整个都在小数点后面。以此类推，第二行和第三行分别把结果最低位写在了`-2`和`-1`位上。最后把三个结果相加，不存在的位置用`0`补充，就得到了最终结果。
整体而言，二进制的乘法要比十进制的乘法简单的多得多，这回我们连九九乘法表都不用背了。
# 4 除法
除法是乘法的逆运算，但相对于加法的逆运算减法来说，除法就相对要复杂一些了。我们还是先从十进制开始，但这次就不区分整数和小数了，直接从浮点数开始。
取两个十进制数，被除数`185.65`，除数`2.5`，我们来计算\\(185.65\div2.5\\)的结果：
选的数字有点大，整个计算过程有点长。这里有几个点我们需要注意：
1. 在计算带小数的除法时，我们会习惯先将除数（`2.5`）变成整数，也就是除数和被除数同时乘\\(10^n\\)，这里两个数在除之前都先乘了`10`：\\(185.65\times10\div(2.5\times10)\\)，使`2.5`变成了`25`。这样做可以方便计算，原因就是前文乘法中我们强调过很多次的位数问题，因为在除法的过程中也涉及乘法，即`被除数=除数×商`，如果我们把除数的小数点去掉了，那么除数的最低位变成了第`0`位，我们在计算时就会方便很多，不用担心位数搞错的问题。
2. 除法在计算时，从最高位开始计算，以被除数为基准数，每一位上的数除以整个除数，若当前的数小于除数，则结果为`0`，并将当前计算的数减去`0`后与下一位相结合（作为下一位的高一位）成新的数字，再除以整个除数。如上式中第一步和第二步，结果都是`0`，然后把两步的结果与下一位结合，变成`185`，此时可以除以`25`，`25 × 7 = 175`，`185 - 175 = 10`，然后下一步将这个`10`和被除数的下一位`6`结合，得到了`106`。上式的计算过程部分中，所有商与除数相乘的结果都是红色字，新的每一步的被除数都是黑色字。这样一直计算，直到最后剩下的结果为`0`，我们就得到了最终的商，上式中写在被除数上方的`74.26`。
上面我文字写的有点绕，但其实只要我们大概回忆一下十进制的除法，通过上面这个式子，就能看明白是怎么回事了。
二进制同理，我们取两个二进制数`11.11（3.75）`，`10.1（2.5）`，来看一下\\(11.11\div10.1\\)的结果：
过程和上面十进制一样，最终我们得到了`1.1（1.5）`这个结果。
# 5 结尾
其实在原本的计划中，这篇（二）里还打算把二进制的位运算给放进来，这样凑成一个完整的`运算`篇。但吃了上一篇文章篇幅过长的教训后，觉得还是先不写运运算了，在下一篇专门来讲运运算，以节省篇幅，提升一点阅读体验。